任何物理過程都是在某種時間範圍內發生。現實世界中發生的任何過程，其速度都受到某些事物的限制，也就是說不會在零時間內發生。零上升時間和零下降時間波形是一種數學策略，為的是實現許多計算目的，但是它們永遠不會在任何物理系統中發生。

相反，所有物理事件發生的情況都不相同。下落的石頭速度逐漸增加(加速度)；電壓和電流根據電抗值(電感或電容)的不同而有變化差異。

物理事件的過程可以用微分方程來描述，這正是有限元分析(Finite element analysis)的依據。這種分析相關的軟體可能會很花錢，但是如果能編寫自己的軟體，則可以使用有限元分析概念來發揮巨大優勢。我把這些方程稱為「一維(one dimensional)」，因為唯一關注的維度是時間。

對於電感，我們有V = L·di/dt；對於電容，則有i = C·dV/dt。這兩者都是對時間的微分。一個簡單的例子是RLC電路，可能如圖1所示。假設電容具有一定初始電壓，即全部為「VCAP」，並再假設電感中有電流流過，記為「i」，其初始值為零，那麼就可以使用遞迴微分方程創建一個運算迴圈來描述所發生的情況。

圖1 使用遞迴微分方程式可以得到簡單RLC電路的衰減結果。

圖1的分析毫不奇怪。任意使用100pF和1mHy，將電容電壓設置為10V的初始值，然後就可以針對幾種不同的串聯電阻值，得到電流和電容電壓呈指數衰減的正弦波。如果選擇用SPICE模擬，則可以在當中輕鬆複現此結果。

圖2 仍然是簡單RLC電路的衰減結果，但電容可變。

使用遞迴微分方程式的一個主要優點是極高的靈活性。在圖2中，將C的電容值當作變容二極體來改變。將電容從5pF變為100pF，波形會隨之變化。我所熟識的任何版本的SPICE都不具備模擬掃描元件值變化的能力，但不排除有其他版本的存在。

說起更複雜的情況，我曾經使用過遞迴微分方程式模擬三相開關模式馬達驅動器(圖3)。

圖3 三相電動機驅動器模擬。

這裡，功率MOSFET用電阻來表示，並與MOSFET時序保持一致而設置為開路或R_dson…

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